解题思路:(Ⅰ)先求函数的导函数f′(x),再求所求切线的斜率即f′(0),由于切点为(0,0),故由点斜式即可得所求切线的方程;
(Ⅱ)利用导数的正负,可得函数f(x)的单调区间.
(I)由题意f'(x)=3x2-6x-9,k=f'(0)=-9,f(0)=1
所以函数在点(0,f(0))处的切线方程为y-1=-9x,即9x+y-1=0…(6分)
(II)令f'(x)=3x2-6x-9>0,解得x<-1或x>3
令f'(x)=3x2-6x-9<0,解得-1<x<3
故:函数f(x)的单调增区间为(-∞,-1),(3,+∞),单调减区间为(-1,3)…(13分)
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.