Question

数学归纳法证明数列数列{an}满足a=1且对任意的n∈N*都有8an·（an+1）-16（an+1）+2an+5=0,记

Answer 1

易得a1=1,a2=7/8,a3=3/4,a4=13/20

所以b1=2/3,b2=4/3,b3=8/3,b4=16/3

猜想bn=2^n/3

证明：1)当n=1时,b1=2/3,命题成立；

2)假设当n=k时,命题成立,即bk=2^k/3

所以bk+4/3=1/(ak-1/2)=(2^k+4)/3

ak-1/2=3/(2^k+4)

则ak=3/(2^k+4)+1/2

由8aka(k+1)-16a(k+1)+2ak+5=0可得[24/(2^k+4)+4]a(k+1)-16a(k+1)+6/(2^k+4)+1+5=0

解得a(k+1)=(2^k+5)/(2^(k+1)+4)=3/(2^(k+1)+4)+1/2

所以b(k+1)=2^(k+1)/3

即当n=k+1时,命题也成立

综上1)2)可得,bn=2^n/3