Question

已知正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=1，得到三棱锥A-BCD，如图所

Answer 1

（I）证明：∵在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，

∴O为BD的中点，

又M为AB的中点，

∴OM ∥ AD．

又AD⊂平面ACD，OM⊄平面ACD，

∴OM ∥ 平面ACD．

证明：（II）在△AOC中，∵AC=1， AO=CO=

2

2 ，

∴AC ²=AO ²+CO ²，∴AO⊥CO．

又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，

∴AO⊥BD，

又BD∩CO=O

∴AO⊥平面BCD．

（III）由（II）知AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，

如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．

则 O(0，0，0)，A(0，0，

2

2 )，C(

2

2 ，0，0)，B(0，-

2

2 ，0)，D(0，

2

2 ，0) ，

OA =(0，0，

2

2 ) 是平面BCD的一个法向量．

AC =(

2

2 ，0，-

2

2 ) ，

BC =(

2

2 ，

2

2 ，0) ，

设平面ABC的法向量

n =(x，y，z) ，

则

n •

BC =0 ，

n •

AC =0 ．

即

(x，y，z)•(

2

2

2

2 ，0)=0

(x，y，z)•(

2

2 ，0，-

2

2 )=0 ，

所以y=-x，且z=x，令x=1，则y=-1，z=1，

解得

n =(1，-1，1) ．

从而 cos〈

n ，

OA ＞=

n •

OA

|

n ||

OA | =

3

3 ，

二面角A-BC-D的余弦值为

3

3 ．

1年前

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