解题思路:(1)利用[-(2k+1)]2-4(k2+2k)≥0,即可求实数k的取值范围;
(2)假设存在实数k使得
x
1
•
x
2
−
x
1
2
−
x
2
2
≥0成立,利用韦达定理,代入计算,即可得出结论.
(1)∵原方程有两个实数根,
∴[-(2k+1)]2-4(k2+2k)≥0…(1分)
∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0
∴1-4k≥0,…(3分)
∴k≤[1/4].
∴当k≤[1/4]时,原方程有两个实数根. …(6分)
(2)假设存在实数k使得x1•x2−x12−x22≥0成立.
∵x1,x2是原方程的两根,
∴x1+x2=2k+1,x1•x2=k2+2k. …(8分)
由x1•x2−x12−x22≥0,
得3x1•x2−(x1+x2)2≥0.
∴3(k2+2k)-(2k+1)2≥0,整理得:-(k-1)2≥0,
∴只有当k=1时,上式才能成立.…(10分)
又由(1)知k≤[1/4],
∴不存在实数k使得x1•x2−x12−x22≥0成立.…(12分)
点评:
本题考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系.
考点点评: 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系,考查韦达定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.