已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.

1个回答

  • 解题思路:(1)利用[-(2k+1)]2-4(k2+2k)≥0,即可求实数k的取值范围;

    (2)假设存在实数k使得

    x

    1

    x

    2

    x

    1

    2

    x

    2

    2

    ≥0成立,利用韦达定理,代入计算,即可得出结论.

    (1)∵原方程有两个实数根,

    ∴[-(2k+1)]2-4(k2+2k)≥0…(1分)

    ∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0

    ∴1-4k≥0,…(3分)

    ∴k≤[1/4].

    ∴当k≤[1/4]时,原方程有两个实数根.    …(6分)

    (2)假设存在实数k使得x1•x2−x12−x22≥0成立.

    ∵x1,x2是原方程的两根,

    ∴x1+x2=2k+1,x1•x2=k2+2k. …(8分)

    由x1•x2−x12−x22≥0,

    得3x1•x2−(x1+x2)2≥0.

    ∴3(k2+2k)-(2k+1)2≥0,整理得:-(k-1)2≥0,

    ∴只有当k=1时,上式才能成立.…(10分)

    又由(1)知k≤[1/4],

    ∴不存在实数k使得x1•x2−x12−x22≥0成立.…(12分)

    点评:

    本题考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系.

    考点点评: 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系,考查韦达定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.