Question

已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f(x)＝n−g(x)m+2g(x)是奇函数．

Answer 1

解题思路：（1）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），利用g（3）=8，可得8=a³，解得a即可；

（2）利用奇函数的定义和性质f（0）=0，f（-x）+f（x）=0即可得出；

（3）利用（1）（2）可证明函数f（x）在R上单调递减，进而即可解出t的取值范围．

（1）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），∵g（3）=8，∴8=a³，解得a=2．

∴g（x）=2^x；

（2）f(x)＝

n−2x

m+2x+1，

∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=[n−1/m+2＝0，解得n=1．

∴f(x)＝

1−2x

m+2x+1]，

又f（-x）+f（x）=0，∴

1−2x

m+2x+1+

1−2−x

m+2−x+1＝0，

化为（m-2）（2-2^x-2^-x）=0，

∵上式对于任意实数都成立，∴m-2=0，解得m=2．

∴m=2，n=1；

（3）由（2）可知：f（x）=

1−2x

2+2x+1＝

1

2(

2

1+2x−1)，

∵函数y=2^x在R上单调递增，∴f（x）在R上单调递减．

∵不等式f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0恒成立，

∴f（t²-k）＞-f（2t-3t²）=f（3t²-2t）在R上恒成立，

∴t²-k＜3t²-2t在R上恒成立，

即2t²-2t+k＞0在R上恒成立．

∴△=4-8k＜0，解得k＞

1

2．

∴k的取值范围是k∈(

1

2，+∞)．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题考查了函数的奇偶性和单调性、指数函数的定义与性质、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于难题．