Question

设f（x）=a．2x−12x+1是R上的奇函数．

Answer 1

解题思路：（1）利用奇函数的定义f（-x）=-f（x）对x∈R恒成立，解方程求出a的值．

（2）由（1）知f（x）=

2

x

−1

2

x

+1

，由y=

2

x

−1

2

x

+1

，解出 x的解析式，再把自变量和函数交换位置，并注明反函数的定义域（即原函数的值域）即得反函数．

（1）由题意知f（-x）=-f（x）对x∈R恒成立，即

a•2−x−1

2−x+1=-

a•2x−1

2x+1，

即（a-1）（2^x+1）=0，

∴a=1．

（2）由（1）知f（x）=

2x−1

2x+1，由y=

2x−1

2x+1，得 2^x=[1+y/1−y]，x=log₂[1+y/1−y]，

∴f^-1（x）=log₂[1+x/1−x]（-1＜x＜1）．

点评：

本题考点： 反函数；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题考查求一个函数的反函数的方法，奇函数的定义以及指数式与对数式的互化．