Question

已知如图，椭圆方程为x216+y2b2=1（4>b>0）．P为椭圆上的动点，

Answer 1

解题思路：（1）延长F₁M与F₂P的延长线相交于点N，连接OM，利用条件求出M是线段NF₁的中点，转化出|OM|=4即可求出M点的轨迹T的方程；

（2）可以先观察出轨迹T上有两个点A（-4，0），B（4，0）满足S_△OEA=S_△OEB=2，再利用同底等高的两个三角形的面积相等，，，知道符合条件的点均在过A、B作直线OE的两条平行线l₁、l₂上，再利用点Q是轨迹T内部的整点即可求出点Q的坐标．

（1）当点P不在x轴上时，延长F₁M与F₂P的延长线相交于点N，连接OM，

∵∠NPM=∠MPF₁，∠NMP=∠PMF₁

∴△PNM≌△PF₁M

∴M是线段NF₁的中点，|PN|=|PF₁||（2分）

∴|OM|=[1/2]|F₂N|=[1/2]（|F₂P|+|PN|）=[1/2]（|F₂P|+|PF₁|）

∵点P在椭圆上

∴|PF₂|+|PF₁|=8∴|OM|=4，（4分）

当点P在x轴上时，M与P重合

∴M点的轨迹T的方程为：x²+y²=4²．（6分）

（2）连接OE，易知轨迹T上有两个点

A（-4，0），B（4，0）满足S_△OEA=S_△OEB=2，

分别过A、B作直线OE的两条平行线l₁、l₂．

∵同底等高的两个三角形的面积相等

∴符合条件的点均在直线l₁、l₂上．（7分）

∵kOE=

1

2

∴直线l₁、l₂的方程分别为：y=

1

2(x+4)、y=

1

2(x-4)（8分）

设点Q（x，y）（x，y∈Z）∵Q在轨迹T内，

∴x²+y²<16（9分）

分别解

x2+y2<16

y=

1

2(x+4)与

x2+y2<16

y=

1

2(x-4)

得-4

2

5与-2

2

5

∵x，y∈Z

∴x为偶数，在(-4，2

2

5)上x=-2，，0，2对应的y=1，2，3

在(-2

2

5，4)上x=-2，0，2，对应的y=-3，-2，-1（13分）

∴满足条件的点Q存在，共有6个，

它们的坐标分别为：（-2，1），（0，2），（2，3），（-2，-3），（0，-2），（2，-1）．（14分）

点评：

本题考点： 圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 本题涉及到轨迹方程的求法．在求动点的轨迹方程时，一般多是利用题中条件得出关于动点坐标的等式，整理可得动点的轨迹方程．