解题思路:首先设f(x)=4x2-2mx+n,由关于x的方程4x2-2mx+n=0有两个实数根,可得判别式△>0,又由此二次函数的开口向上,关于x的方程4x2-2mx+n=0的两个实数根都大于1,且小于2,可得f(1)>0,f(2)>0,然后设方程4x2-2mx+n=0两根为x1,x2,根据韦达定理,可得x1+x2=[m/2],x1x2=[n/4],则可求得4<m<8,4<n<16,由m,n均为正整数,利用分类讨论的方法,即可求得m,n的值.
设f(x)=4x2-2mx+n,
∵关于x的方程4x2-2mx+n=0有两个实数根,
∴△=(2m)2-16n≥0,
∴m2≥4n,
∵此二次函数的开口向上,关于x的方程4x2-2mx+n=0的两个实数根都大于
1,且小于2(如草图),
∴f(1)=4-2m+n>0,f(2)=16-4m+n>0,
设方程4x2-2mx+n=0两根为x1,x2,
由韦达定理知:x1+x2=[m/2],x1x2=[n/4],
∵x1,x2都大于1,且小于2,
∴2<[m/2]<4,1<[n/4]<4,
∴4<m<8,4<n<16,
∵m,n均为正整数,
∴(1)当m=5,由m2-4n≥0,得n=5或6,但均不满足4-2m+n>0,
∴m≠5;
(2)当m=6,由m2-4n>0得n=5,6,7,8,9,
∵n,5,6,7,8不满足4-2m+n>0,16-4m+n>0,
∴n=9;
(3)当m=7,由m2-4n≥0得n=5,6,7,8,9,10,11,12.
∵n=5,6,7,8,9,10,11,12不满足4-2m+n>0,16-4m+n>0,
∴此时无解;
∴m=6,n=9.
点评:
本题考点: 一元二次方程根的分布.
考点点评: 此题考查了一元二次方根的分布,函数的性质与一元二次不等式的解法.此题难度较大,解题的关键是掌握函数思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用,还要注意二次函数的性质的灵活应用.