m,n均为正整数,若关于x的方程4x2-2mx+n=0的两个实数根都大于1,且小于2,求m,n的值.

3个回答

  • 解题思路:首先设f(x)=4x2-2mx+n,由关于x的方程4x2-2mx+n=0有两个实数根,可得判别式△>0,又由此二次函数的开口向上,关于x的方程4x2-2mx+n=0的两个实数根都大于1,且小于2,可得f(1)>0,f(2)>0,然后设方程4x2-2mx+n=0两根为x1,x2,根据韦达定理,可得x1+x2=[m/2],x1x2=[n/4],则可求得4<m<8,4<n<16,由m,n均为正整数,利用分类讨论的方法,即可求得m,n的值.

    设f(x)=4x2-2mx+n,

    ∵关于x的方程4x2-2mx+n=0有两个实数根,

    ∴△=(2m)2-16n≥0,

    ∴m2≥4n,

    ∵此二次函数的开口向上,关于x的方程4x2-2mx+n=0的两个实数根都大于

    1,且小于2(如草图),

    ∴f(1)=4-2m+n>0,f(2)=16-4m+n>0,

    设方程4x2-2mx+n=0两根为x1,x2

    由韦达定理知:x1+x2=[m/2],x1x2=[n/4],

    ∵x1,x2都大于1,且小于2,

    ∴2<[m/2]<4,1<[n/4]<4,

    ∴4<m<8,4<n<16,

    ∵m,n均为正整数,

    ∴(1)当m=5,由m2-4n≥0,得n=5或6,但均不满足4-2m+n>0,

    ∴m≠5;

    (2)当m=6,由m2-4n>0得n=5,6,7,8,9,

    ∵n,5,6,7,8不满足4-2m+n>0,16-4m+n>0,

    ∴n=9;

    (3)当m=7,由m2-4n≥0得n=5,6,7,8,9,10,11,12.

    ∵n=5,6,7,8,9,10,11,12不满足4-2m+n>0,16-4m+n>0,

    ∴此时无解;

    ∴m=6,n=9.

    点评:

    本题考点: 一元二次方程根的分布.

    考点点评: 此题考查了一元二次方根的分布,函数的性质与一元二次不等式的解法.此题难度较大,解题的关键是掌握函数思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用,还要注意二次函数的性质的灵活应用.