Question

如图，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，∠BAC=90°，AB=AC=AA 1 =2，E是BC中点．

Answer 1

（本小题满分14分）

（I）证明：连接A ₁C交AC ₁于点O，连接EO，

因为ACC ₁A ₁为正方形，所以O为A ₁C中点，

又E为CB中点，所以EO为△A ₁BC的中位线，

所以EO ∥ A ₁B，…（2分）

又∵EO⊂平面AEC ₁，A ₁B⊄平面AEC ₁，

所以A ₁B ∥ 平面AEC ₁．…（4分）

（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA ₁为z轴建立空间直角坐标系

所以A（0，0，0），A ₁（0，0，2），B（2，0，0），B ₁（2，0，2），C ₁（0，2，2），E（1，1，0），

设M（0，0，m），0≤m≤2，所以

B 1 M =(-2，0，m-2) ，

C 1 E =（1，-1，-2），

因为B ₁M⊥C ₁E，所以

B 1 M •

C 1 M =0 ，解得m=1，所以AM=1．…（8分）

（Ⅲ）因为

AE =（1，1，0），

A C 1 =（0，2，2），

设平面AEC ₁的法向量为

n =（x，y，z），

则有

AE •

n =0

A C 1 •

n =0 ，得

x+y=0

y+z=0 ，

令y=-1，则x=1，z=1，所以取

n =（1，-1，1），…（10分）

因为AC⊥平面ABB ₁A ₁，取平面ABB ₁A ₁的法向量为

AC =（0，2，0），…（11分）

所以cos＜

AC ，

n ＞=

AC •

n

|

AC |•|

n | =-

3

3 ，…（13分）

平面AEC ₁与平面ABB ₁A ₁所成锐二面角的余弦值为

3

3 ．…（14分）