Question

数列{a n }各项均为正数，其前n项和为S n ，且满足 2 a n S n - a 2n =2 ．

Answer 1

（Ⅰ）∵ 2 a n S n -

a 2n =1

当n≥2时， 2( S n - S n-1 ) S n -( S n - S n-1 ) 2 =1 ，

整理得，

S 2n -

S 2n-1 =1 （n≥2），（2分）

又

S 21 =1 ，（3分）

∴数列 {

S 2n } 为首项和公差都是1的等差数列．（4分）

∴

S 2n =n ，又S _n＞0，∴ S n =

n （5分）

∴n≥2时， a n = S n - S n-1 =

n -

n-1 ，

又a ₁=S ₁=1适合此式（6分）

∴数列{a _n}的通项公式为 a n =

n -

n-1 （7分）

（Ⅱ）∵ b n =

2

4

S 4n -1 =

2

(2n-1)(2n+1) =

1

2n-1 -

1

2n+1 （8分）

∴ T n =

1

1×3 +

1

3×5 +…+

1

(2n-1)(2n+1)

= 1-

1

3 +

1

3 -

1

5 +…+

1

2n-1 -

1

2n+1

= 1-

1

2n+1 =

2n

2n+1 （10分）

∴ T n ≥

2

3 ，依题意有

2

3 ＞

1

6 ( m 2 -3m) ，解得-1＜m＜4，

故所求最大正整数m的值为3（12分）