Question

已知函数f（x）=[ax2+（a+1）x+1]ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．

Answer 1

解题思路：（1）当a=1时，求出函数的导数，利用函数的导数和极值之间的关系，即可求函数f（x）的极值；

（2）若f（x）是区间[-1，1]上的单调递增函数，等价为f′（x）≥0恒成立，即可求实数a的取值范围．

（1）极大值f（-3）=4e^-3，极意，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立．小值f（-1）=0

（2）f′（x）=[ax²+（3a+1）x+a+2]e^x，

若f（x）是区间[-1，1]上的单调递增函数，则f′（x）≥0恒成立，

即ax²+（3a+1）x+a+2≥0在[-1，1]上恒成立．

令h（x）=ax²+（3a+1）x+a+2，当a=0时，符合条件

当a＜0时，

h(−1)≥0

h(1)≥0，解得−

3

5≤a＜0，

当a＞0时h（-1）≥0，解得0＜a≤1，

综上a的取值范围是[−

3

5，1]

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查导数的应用，要求熟练掌握函数的极值和单调性与导数之间的关系．