设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,且对所有的正整数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项,求:数列{a

1个回答

  • 解题思路:利用an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项,可得

    S

    n

    1

    8

    (

    a

    n

    +2

    )

    2

    ,再写一式,两式相减,即可求数列{an}的通项公式.

    ∵an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项,

    1

    2(an+2)=

    2Sn,即Sn=

    1

    8(an+2)2.…(2分)

    当n=1时,S1=

    1

    8(a1+2)2⇒a1=2; …(3分)

    当n≥2时,an=Sn−Sn−1=

    1

    8[(an+2)2−(an−1+2)2],

    即(an+an-1)(an-an-1-4)=0,…(5分)

    又∵an+an-1>0,∴an-an-1=4,

    可知{an}是公差为4的等差数列.…(7分)

    ∴an=2+(n-1)×4=4n-2. …(8分)

    点评:

    本题考点: 等差数列的性质.

    考点点评: 本题考查等差数列的性质,考查数列的通项,考查学生的计算能力,属于中档题.