Question

要造一个容积为V的圆柱形容器（无盖）,问底半径和高分别为多少是所用材料最省?

Answer 1

设底面半径r,高h,则V=πr²h,h=V/πr²

所用材料面积为S=πr²+2πrh=πr²+2V/r(r>0)

导数S’=2πr-2V/r²=0,r=(V/π)^(1/3)

当r=(V/π)^(1/3),h=(V/π)^(1/3) 时,用材料最省S=(πV²)^(1/3)+2(πV²)^(1/3)=3(πV²)^(1/3)

或者用不等式,对于整数a,b,c,a³+b³+c³≥3abc(当且仅当a=b=c时等号成立)

S=πr²+V/r +V/r ≥ 3(πr²·V/r·V/r)^(1/3) = 3(πV²)^(1/3)

当且仅当πr²=V/r,即r=(V/π)^(1/3)时,等号成立.S取最小值,即所用材料最省.

(a³+b³+c³)/3≥abc (算术平均值不小于几何平均值)