Question

设f（x）=1-22x+1．（1）求f（x）的值域；（2）证明f（x）为R上的增函数．

Answer 1

解题思路：（1）因为2^x＞0，由不等式的性质即可求出1-

2

2

x

+1

的范围，即f（x）的值域．

（2）由增函数的定义，只要任取两个自变量，由做差法比较他们对应函数值的大小即可．

（1）因为2^x＞0，所以0＜

2

2x+1＜2，所以-1＜1-

2

2x+1＜1，即f（x）的值域为（-1，1）；

（2）任取x₁、x₂，且x₁＜x₂．

则f（x₂）-f（x₁）=1−

2

2x2+1−1+

2

2x1+1=

2(2x2−2x1)

(2x2+1)(2x1+1)＞0

所以f（x₂）＞f（x₁）

所以f（x）为R上的增函数

点评：

本题考点： 函数的值域；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数的值域的求解、单调性的证明，属基础知识的考查．