建议边画图边理解:
前期准备：由已知可以得到A(2b,0) ,B(0,b) ,C(2b,b) ,D(b,b) CD=b
1.因为△PMN是以M(4,0)N(8,0)为斜边端点做等腰三角形,根据等腰直角三角形的性质,底边的高和底边的中线重合,所以高等于1/2斜边的长,可以得到 P（6,2）
2 矩形OABC与三角形重叠部分是四种不同情况,
第一：没重合,S=0 （2≥b＞0)
第二：重合部分是一个以AM为直角边的等腰直角三角形,S=1/2 ×AM^2=1/2(2b-4)^2 (3≥b＞2)
第三：重合部分是△PMN 减去以AN为直角边的等腰直角三角形的那部分,S=4-1/2(8-2b)^2 (4＞b＞3)
第四：当b≥4时,重合部分是△PMN,S=4
3,根据圆的性质,直径所对的圆周角是直角,所以点Q必定在以OM为直径的圆上面,所以满足一下式子 (X-2)^2+Y^2=4 【圆心是（2,0）,这个式子初中没学】将直线的解析式代入这个式子 得：5/4X^2-(b+4)X+b^2=0令它有解,也就是判别式△≥0,可以解得 1- 根号5≤b≤1+ 根号5 ,由于b＞0,所以0＜b≤1+ 根号5
4,先要分析哪边是底边,哪边是腰：
第一：CD是底边,则点P必定落在CD的垂直平分线上,所以,P的横坐标=3/2 b=6,所以b=4
第二：CD=CP 则 b= 根号内【（6-2b)^2+(2-b)^2】解得 b=2或者b=5
第三：CD=DP 则 b= 根号内【（6-b)^2+(2-b)^2】 解得 b=8-2根号6 或者 b=8+2根号6