解题思路：（I）根据函数f（x）过点A（0，1），且在该点处的切线与直线2x+y+1=0平行，建立方程组即可求出b与c的值；
（Ⅱ）对函数f（x）进行配方，得到对称轴，判定对称轴与区间[1，3]的位置关系，求出最小值，讨论对称轴与区间中值2的大小，求出最大值，然后利用分段函数表示F（a）即可．
（Ⅰ）由A（0，1）满足f（x）解析式，∴c=1，
又f′（x）=2ax+b，x=0时f（0）=b=-2，∴b=-2
∴b=-2，c=1
（Ⅱ）f(x)＝ax2−2x+1＝a(x−
1
a)2−
1
a+1
∵a∈[
1
3，1]，∴[1/a∈[1，3]．∴当x＝
1
a]时，N(a)＝1−
1
a（6分）
当[1/a∈[1，2]时，a∈[
1
2，1]，M(a)＝f(3)＝9a−5
当
1
a∈[2，3]时，a∈[
1
3，
1
2]，M(a)＝f(1)＝a−1（10分）
∴F(a)＝
a+
1
a−2，a∈[
1
3
1
2]
9a+
1
a−6，a∈[
1
2，1]]（13分）
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值；直线的点斜式方程．
考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数求闭区间上函数的最值等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类讨论的思想，属于中档题．