解题思路：（1）由①知，对任意a，b∈N*，a＜b，都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，由于a-b＜0，从而f（a）＜f（b），由此能够证明函数f（x）为N*上的单调增函数．
（2）令f（1）=a，则a＞1，由f（f（1））=3，即得f（a）=3．由f（a）＞f（1）=a，即a＜3．于是得1＜a＜3，又a∈N*，从而a=2，即f（1）=2，由此能求出f（1）+f（6）+f（30）．
（3）法一：
f(
a
n
)＝f(f(
3
n
))＝3×
3
n
＝
3
n+1
，
a
n+1
＝f(
3
n+1
)＝f(f(
a
n
))＝3
a
n
，a1=f（3）=6．即数列{an}是以6为首项，以3为公比的等比数列．故
a
n
＝6×
3
n−1
＝2×
3
n
(n＝1，2，3…)
．由此能够证明
1
4
(1−
1
3
n
)＜
1
4]，（12分）
法二：裂项求和：由[1
a
n
＝
1
2×
3
n
＝
1/4
(
1
3
n−1
−
1
3
n
)
，知
3
n
＝(1+2
)
n
＝1+
C
1
n
×2+
C
2
n
×
2
2
+…+
C
n
n
×
2
n
≥1+2n
，由此能够证明
n
4n+2
≤
1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
n
＜
1
4]．
（1）由①知，对任意a，b∈N*，a＜b，
都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，
由于a-b＜0，从而f（a）＜f（b），
所以函数f（x）为N*上的单调增函数．（3分）
（2）令f（1）=a，则a＞1，
显然a≠1，否则f（f（1））=f（1）=1，与f（f（1））=3矛盾．
从而a＞1，而由f（f（1））=3，即得f（a）=3．
又由（I）知f（a）＞f（1）=a，即a＜3．
于是得1＜a＜3，
又a∈N*，从而a=2，即f（1）=2．（5分）
而由f（a）=3知，f（2）=3．
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，（7分）
f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
f（18）=f（f（9））=3×9=27，
f（27）=f（f（18））=3×18=54，
f（54）=f（f（27））=3×27=81，
由于54-27=81-54=27，
而且由（I）知，函数f（x）为单调增函数，因此f（30）=54+3=57．
从而f（1）+f（6）+f（30）=2+9+57=68．（9分）
（3）解法一：f(an)＝f(f(3n))＝3×3n＝3n+1，
an+1＝f(3n+1)＝f(f(an))＝3an，a1=f（3）=6．
即数列{an}是以6为首项，以3为公比的等比数列．
∴an＝6×3n−1＝2×3n(n＝1，2，3…)．（11分）
于是[1
a1+
1
a2+…+
1
an＝
1/2(
1
3+
1
32+…+
1
3n)＝
1
2×
1
3(1−
1
3n)
1−
1
3＝
1
4(1−
1
3n)，
显然
1
4(1−
1
3n)＜
1
4]，（12分）
解法二：裂项求和：[1
an＝
1
2×3n＝
1/4(
1
3n−1−
1
3n)
（不需要证明）3n＝(1+2
点评：
本题考点： 数列与函数的综合；函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用；等比关系的确定．
考点点评： 本题考查单调函数的证明，考查函数值的求法，考查不等式的证明．具体涉及到数列的性质和应用、函数与数列的有机结合，解题时要认真审题，注意裂项求和法的灵活运用．
1年前
3
回答问题，请先
登录
·
注册
可能相似的问题
不难的求范围的数学题已知函数f(x)={a^2(x=0) 满足对任意x1不等于x2,都有[f(x1)-f(x2)]/(x
1年前
2个回答
高中 指数函数已知函数y=f(X)满足对任意x1、x2有f（x1＋x2）＝f（x1）＊f（x2）,且x＞0时,f（x）＜
1年前
1个回答
初学指数函数,有点不太明白已知函数y=f(x)满足对任意x1,x2有 f(x1+x2）=f(x1)·f(x2),且x＞0
1年前
1个回答
已知函数f(x)=x+a^2/x其中对于任意x1,x2属于[1,e]都有f(x1)>=g(x2),求a的取值范围
1年前
1个回答
已知函数f(x)=2^x-1,对于满足0 1年前 1个回答 已知函数fx对于任意实数xy满足f(x+y)=f(x)*f(y),且当x1,当x>0时,求fx的取值范围 1年前 1个回答 已知函数 ,,若对任意的x1∈[-1,2] ,总存在,使得,则的取值范围是 ,总存在x2∈[-1,2] ,使得 ,则m的 1年前 4个回答 已知函数f(x)=ax-x^3,当x1,x2属于（0,1）,且满足x1x2-x1恒成立,求a的取值范围 1年前 3个回答 已知函数fx对任意xy∈R满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(2)=p,f(3)=q 那么f(36)= 1年前 1个回答 已知函数f x满足:对于任意实数x,y f(xy)=f(x)+f(y) 1年前 2个回答 已知函数f(x)满足对于任意实数mn,都有f(m+n)=f(m)+f(n)+mn+1,且f（-2）=-2 1年前 1个回答 已知函数fx=x/1+|x|,求证当x1≠x2时,fx1≠fx2 1年前 2个回答 已知函数满足对任意xy属于R都有f(x+y)=f(x)*f(y)-f(x)-f(y)+2成立 1年前 1个回答 已知函数y=f(x),x属于R,对于任意的xy属于R,f(x+y)=f(x)+f(y),（1）求证f(0)=0,且f（x 1年前 1个回答 已知函数fx对任意xy∈R满足f(x+y)=f(x)+f(y) 1年前 2个回答 已知函数f(x)满足,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x>0时,f(x)>1 1年前 5个回答 已知f(x)=x3-3x,证明对任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|＜4恒成立 1年前 2个回答 如果已知函数f(x)在x1处可导,可否说明其导函数在该处连续?如果可以,如何证明?如果不可以,能不能举个反例? 1年前 1个回答 你能帮帮他们吗 现在给你一温度计 一杯水 你能设计简单的实验来验证 液体蒸发要吸热 有致冷的作用 1年前 3个回答 123的23次方加124的24次方加125的25次方除以3所得的余数是几 1年前 悬赏5滴雨露 5个回答 课文《江姐》的段意 高悬赏 1年前 悬赏100滴雨露 1个回答 磨杵成针的意思是什么! 1年前 悬赏5滴雨露 5个回答 大厅里有一根长方体柱子,高6米,底面是边长0.5米的正方形 1年前 悬赏5滴雨露 2个回答 精彩回答 下列国家与著名的旅游城市的搭配，正确的是( ) ①.希腊—罗马 ②.意大利—威尼斯 ③.奥地利—维也纳 ④.瑞士—雅典 2个月前 悬赏5滴雨露 1个回答 It took 后面的动词用什么时态 1年前 1个回答 “更无柳絮因风起，惟有葵花向日倾”。该诗句描述的生命现象是( ) 1年前 1个回答 看到我種的花開了我很高興(改為誇張句) 1年前 悬赏5滴雨露 1个回答 Copyright © 2021 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 17 q. 0.142 s. - webmaster@yulucn.com