一、两个人的问题 标题上说的“两个人”,也可以是两个组、两个队等等的两个集体. ●例1 一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成.现在甲先做了3天,余下的工作由乙继续完成,乙需要做几天可以完成全部工作? 解一：把这件工作看作1,甲每天可完成这件工作的九分之一,做3天完成的1/3. 乙每天可完成这件工作的六分之一,（1-1/3）÷1/6=4（天） 答：乙需要做4天可完成全部工作. 解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份,乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是 （18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）. 解三：甲与乙的工作效率之比是 6∶ 9= 2∶ 3. 甲做了3天,相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）. ●例2 一件工作,甲、乙两人合作30天可以完成,共同做了6天后,甲离开了,由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天? 共做了6天后, 原来,甲做 24天,乙做 24天, 现在,甲做0天,乙做40=（24+16）天. 这说明原来甲24天做的工作,可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率 如果乙独做,所需时间是 50天 如果甲独做,所需时间是 75天 答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天. ●例3 某工程先由甲独做63天,再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作,需48天完成.现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么乙还需要做多少天? 先对比如下： 甲做63天,乙做28天； 甲做48天,乙做48天. 就知道甲少做63-48=15（天）,乙要多做48-28=20（天）,由此得出甲的 甲先单独做42天,比63天少做了63-42=21（天）,相当于乙要做 因此,乙还要做 28+28= 56 （天）. 答：乙还需要做 56天. ●例4 一件工程,甲队单独做10天完成,乙队单独做30天完成.现在两队合作,其间甲队休息了2天,乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间? 解一：甲队单独做8天,乙队单独做2天,共完成工作量 余下的工作量是两队共同合作的,需要的天数是 2+8+ 1= 11（天）. 答：从开始到完工共用了11天. 解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份,乙每天完成1份.在甲队单独做8天,乙队单独做2天之后,还需两队合作 （30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）. 解三：甲队做1天相当于乙队做3天. 在甲队单独做 8天后,还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后,还余下（乙队）6-2=4（天）工作量. 4=3+1, 其中3天可由甲队1天完成,因此两队只需再合作1天. ●例5 一项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做,其间甲队休息了3天,乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天? 解一：如果16天两队都不休息,可以完成的工作量是 由于两队休息期间未做的工作量是 乙队休息期间未做的工作量是 乙队休息的天数是 答：乙队休息了5天半. 解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份,乙每天完成2份. 两队休息期间未做的工作量是 （3+2）×16- 60= 20（份）. 因此乙休息天数是 （20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）. 解三：甲队做2天,相当于乙队做3天. 甲队休息3天,相当于乙队休息4.5天. 如果甲队16天都不休息,只余下甲队4天工作量,相当于乙队6天工作量,乙休息天数是 16-6-4.5=5.5（天）. ●例6 有甲、乙两项工作,张单独完成甲工作要10天,单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天,单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作,那么这两项工作都完成最少需要多少天? 很明显,李做甲工作的工作效率高,张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲,张先做乙. 设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数）,张每天完成4份,李每天完成3份. 8天,李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要 （60-4×8）÷（4+3）=4（天）. 8+4=12（天）. 答：这两项工作都完成最少需要12天. ●例7 一项工程,甲独做需10天,乙独做需15天,如果两人合作,他 要8天完成这项工程,两人合作天数尽可能少,那么两人要合作多少天? 设这项工程的工作量为30份,甲每天完成3份,乙每天完成2份. 两人合作,共完成 3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）. 因为两人合作天数要尽可能少,独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成,所以两人合作的天数是 （30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）. 很明显,最后转化成“鸡兔同笼”型问题. ●例8 甲、乙合作一件工作,由于配合得好,甲的工作效率比单独做时快 如果这件工作始终由甲一人单独来做,需要多少小时? 乙6小时单独工作完成的工作量是 乙每小时完成的工作量是 两人合作6小时,甲完成的工作量是 甲单独做时每小时完成的工作量 甲单独做这件工作需要的时间是 答：甲单独完成这件工作需要33小时. 这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是,“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便. 例8就是如此.例8也可以整数化,当求出乙每 有一点方便,但好处不大.不必多此一举. 二、多人的工程问题 我们说的多人,至少有3个人,当然多人问题要比2人问题复杂一些,但是解题的基本思路还是差不多. ●例9 一件工作,甲、乙两人合作36天完成,乙、丙两人合作45天完成,甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成? 设这件工作的工作量是1. 甲、乙、丙三人合作每天完成 减去乙、丙两人每天完成的工作量,甲每天完成 答：甲一人独做需要90天完成. 例9也可以整数化,设全部工作量为180份,甲、乙合作每天完成5份,乙、丙合作每天完成4份,甲、丙合作每天完成3份.请试一试,计算是否会方便些? ●例10 一件工作,甲独做要12天,乙独做要18天,丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天,然后由乙接着做,乙做的天数是甲做的天数的3倍,再由丙接着做,丙做的天数是乙做的天数的2倍,终于做完了这件工作.问总共用了多少天? 甲做1天,乙就做3天,丙就做3×2=6（天）. 说明甲做了2天,乙做了2×3=6（天）,丙做2×6=12(天）,三人一共做了 2+6+12=20（天）. 答：完成这项工作用了20天. 本题整数化会带来计算上的方便.12,18,24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6,乙每天完成4,丙每天完成3.总共用了 ●例11 一项工程,甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天,乙就要多做4天,或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天? 丙2天的工作量,相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍）,甲、乙合作1天,与乙做4天一样.也就是甲做1天,相当于乙做3天,甲的工作效率是乙的工作效率的3倍. 他们共同做13天的工作量,由甲单独完成,甲需要 答：甲独做需要26天. 事实上,当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1,就知甲做1天,相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天,其中乙、丙两人完成的工作量,可转化为甲再做13天来完成. ●例12 某项工作,甲组3人8天能完成工作,乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作? 解一：设这项工作的工作量是1. 甲组每人每天能完成 乙组每人每天能完成 甲组2人和乙组7人每天能完成 答：合作3天能完成这项工作. 解二：甲组3人8天能完成,因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成,因此7人4天能完成. 现在已不需顾及人数,问题转化为： 甲组独做12天,乙组独做4天,问合作几天完成? 小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型,如果你心算较好,很快就能得出答数. ●例13 制作一批零件,甲车间要10天完成,如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做,需要8天才能完成.现在三个车间一起做,完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件? 解一：仍设总工作量为1. 甲每天比乙多完成 因此这批零件的总数是 丙车间制作的零件数目是 答：丙车间制作了4200个零件. 解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成 3份,甲、乙一起每天完成5份,由此得出乙每天完成2份. 乙、丙一起,8天完成.乙完成8×2=16（份）,丙完成30-16=14（份）,就知 乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7. 已知 甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8. 综合一起,甲、乙、丙三人工作效率之比是 12∶8∶7. 当三个车间一起做时,丙制作的零件个数是 2400÷（12- 8） × 7= 4200（个）. ●例14 搬运一个仓库的货物,甲需要10小时,乙需要12小时,丙需要15小时.有同样的仓库A和B,甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物,丙开始帮助甲搬运,中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间? 设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2,所需时间是 答：丙帮助甲搬运3小时,帮助乙搬运5小时. 解本题的关键,是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化,设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6,乙每小时搬运 5,丙每小时搬运4. 三人共同搬完,需要 60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小时）. 甲需丙帮助搬运 （60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）. 乙需丙帮助搬运 （60- 5× 8）÷4= 5（小时）. 三、水管问题 从数学的内容来看,水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程,注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题,不过是工作量有加有减罢了.因此,水管问题与工程问题的解题思路基本相同. 例15 甲、乙两管同时打开,9分钟能注满水池.现在,先打开甲管,10分钟后打开乙管,经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水,这个水池的容积是多少立方米? 甲每分钟注入水量是 ：（1-1/9× 3）÷10=1/15 乙每分钟注入水量是：1/9-1/15=2/45 因此水池容积是：0.6÷（1/15-2/45）=27（立方米） 答：水池容积是27立方米. 例16 有一些水管,它们每分钟注水量都相等.现在打开其中若干根水管,经过预定的时间的1/3,再把打开的水管增加一倍,就能按预定时间注满水池,如果开始时就打开10根水管,中途不增开水管,也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管? 分析：增开水管后,有原来2倍的水管,注水时间是预定时间的1-1/3=2/3,2/3是1/3的2倍,因此增开水管后的这段时间的注水量,是前一段时间注水量的4倍. 设水池容量是1,前后两段时间的注水量之比为：1：4, 那么预定时间的1/3（即前一段时间）的注水量是1/（1+4）=1/5. 10根水管同时打开,能按预定时间注满水,每根水管的注水量是1/10,预定时间的1/3,每根水官的注水量是1/10×1/3=1/30 要注满水池的1/5,需要水管1/5÷1/30=6（根） 前后两段时间的注水量之比为：1：[（1-1/3）÷1/3×2]=1：4 前段时间注水量是：1÷（1+4）=1/5 每根水管在预定1/3的时间注水量为：1÷10×1/3=1/30 开始时打开水管根数：1/5÷1/30=6（根） 答：开始时打开6根水管. 例17 蓄水池有甲、丙两条进水管,和乙、丁两条排水管.要灌满一池水,单开甲管需3小时,单开丙管需要5小时.要排光一池水,单开乙管需要 4小,丁管需要6小时,现在水池内有六分之一的水,如按甲、乙、丙、丁、甲、乙……的顺序轮流打开1小时,问多少时间后水开始溢出水池? 分析： ,否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出. 以后（20小时）,池中的水已有 此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙,它要往上爬30尺才能到达井口,每小时它总是爬3尺,又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口? 看起来它每小时只往上爬3- 2= 1（尺）,但爬了27小时后,它再爬1小时,往上爬了3尺已到达井口. 因此,答案是28小时,而不是30小时. 例18 一个蓄水池,每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头,2小时半就把水池水放空,如果打开8个水龙头,1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头,问要多少时间才能把水放空? 先计算1个水龙头每分钟放出水量. 2小时半比1小时半多60分钟,多流入水 4 × 60= 240（立方米）. 时间都用分钟作单位,1个水龙头每分钟放水量是 240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米）, 8个水龙头1个半小时放出的水量是 8 × 8 × 90, 其中 90分钟内流入水量是 4 × 90,因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）. 打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13,除去每分钟流入4,其余将放出原存的水,放空原存的5400,需要 5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）. 答：打开13个龙头,放空水池要54分钟. 水池中的水,有两部分,原存有水与新流入的水,就需要分开考虑,解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的. 例19 一个水池,地下水从四壁渗入池中,每小时渗入水量是固定的.打开A管,8小时可将满池水排空,打开C管,12小时可将满池水排空.如果打开A,B两管,4小时可将水排空.问打开B,C两管,要几小时才能将满池水排空? 设满水池的水量为1. A管每小时排出 A管4小时排出 因此,B,C两管齐开,每小时排水量是 B,C两管齐开,排光满水池的水,所需时间是 答： B, C两管齐开要 4 小时 48分才将满池水排完. 本题也要分开考虑,水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数量,像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆.事实上,也可以整数化,把原有水设为8与12的最小公倍数 24. 17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本《普遍算术》一书,书中提出了一个“牛吃草”问题,这是一道饶有趣味的算术题.从本质上讲,与例18和例19是类同的.题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草.这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量,是完全类同的. 例20 有三片牧场,场上草长得一样密,而且长得一 草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草? 吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数.根据这一计算公式,可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位. 原有草+4星期新长的草=12×4. 原有草+9星期新长的草=7×9. 由此可得出,每星期新长的草是 （7×9-12×4）÷（9-4）=3. 那么原有草是 7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）. 对第三片牧场来说,原有草和18星期新长出草的总量是 这些草能让 90×7.2÷18=36（头） 牛吃18个星期. 答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草. 例20与例19的解法稍有一点不一样.例20把“新长的”具体地求出来,把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算.事实上,如果例19再有一个条件,例如：“打开B管,10小时可以将满池水排空.”也就可以求出“新长的”与“原有的”之间数量关系.但仅仅是例19所求,是不需要加这一条件.好好想一想,你能明白其中的道理吗? “牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅,我们只再举一个例子. 例21 画展9点开门,但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起,每分钟来的观众人数一样多.如果开3个入场口,9点9分就不再有人排队,如果开5个入场口,9点5分就没有人排队.问第一个观众到达时间是8点几分? 设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位. 从9点至9点9分进入观众是3×9, 从9点至9点5分进入观众是5×5. 因为观众多来了9-5=4（分钟）,所以每分钟来的观众是 （3×9-5×5）÷（9-5）=0.5. 9点前来的观众是 5×5-0.5×5=22.5. 这些观众来到需要 22.5÷0.5=45（分钟）. 答：第一个观众到达时间是8点15分. 挖一条水渠,甲、乙两队合挖要六天完成.甲队先挖三天,乙队接着挖一天,可挖这条水渠的3/10,两队单独挖各需几天? 分析: 甲乙合作1天后,甲又做了2天共3/10-1/6=4/30 2÷(3/10-1/6) =2÷4/30 =15(天) 1÷(1/6-1/15)=10(天) 答:甲单独做要15天,乙单独做要10天 . .一件工作,如果甲单独做,那么甲按规定时间可提前2天完成,乙则要超过规定时间3天才完成.现在甲乙二人合作二天后,剩下的乙单独做,刚好在规定日期内完成.若甲乙二人合作,完成工作需多长时间? 解设:规定时间为X天.(甲单独要X-2乙单独要X+3天,甲一共做了2天,乙一共做了X天) 1/(X-2)×2 + X/(X+3)=1 X=12 规定要12天完成 1÷[1/(12-2)+1/(12+3)] =1÷(1/6) =6天 答:两人合作完成要6天. 例：一项工程,甲单独做63天,再由乙做28天完成,甲乙合作需要48天完成.甲先做42天,乙做还要几天? 答：设甲的工效为x,乙的工效为y 63x+28y=1 48x+48y=1 x=1/84 y=1/112 乙还要做（1-42/84）÷（1/112）=56（天）