解题思路：（1）由于函数f（x）=ax+1-
3/x+1]，而函数 y=ax（a＞1）和函数y=-[3/x+1] 在（-1，+∞）上都为增函数，可得函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数．
（2）假设f（x）=0有负数根为x=x0＜0，则有
a
x
0
+1=
3
x
0
+1
①．分当x0∈（-1，0）时、当x0∈（-∞，-1）两种情况，分别根据
3
x
0
+1
和
a
x
0
+1 的范围，可得①根本不可能成立，综上可得假设不成立，命题得证．
（1）由于函数f（x）=ax+[x−2/x+1]（a＞1）=ax+1-[3/x+1]，
而函数 y=ax（a＞1）和函数y=-[3/x+1] 在（-1，+∞）上都为增函数，
故函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数．
（2）假设f（x）=0有负数根为x=x0，且x0＜0，则有f（x0）=0，故有ax0+1=[3
x0+1 ①．
由于函数y=ax+1在R上式增函数，且a0+1=2，∴ax0+1＜2．
由于函数y=
3/x+1] 在（-1，+∞）上是减函数，当x0∈（-1，0）时，[3/0+1]=3，∴[3
x0+1＞3，
∴①根本不可能成立，故①矛盾．
由于由于函数y=
3/x+1] 在（-∞，-1）上是减函数，当x0∈（-∞，-1）时，[3
x0+1＜0，
而，ax0+1＞1，∴①根本不可能成立，故①矛盾．
综上可得，①根本不可能成立，故假设不成立，故f（x）=0没有负数根．
点评：
本题考点： 反证法与放缩法；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题主要考查函数的单调性的判断和证明，用反证法证明不等式，属于中档题．
1年前
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