如图,在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=40°,∠APD=65°。

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  • (1)证明略

    (2)AD=2OE=6

    分析:(1)由同弧所对的圆周角相等求得∠CAB=∠CDB=40°,然后根据平角是180°求得∠BPD=115°;最后在△BPD中依据三角形内角和定理求∠B即可;

    (2)过点O作OE⊥BD于点E,则OE=3.根据直径所对的圆周角是直角,以及平行线的判定知OE∥AD;又由O是直径AB的半径可以判定O是AB的中点,由此可以判定OE是△ABD的中位线;最后根据三角形的中位线定理计算AD的长度.

    (1)∵∠CAB=∠CDB(同弧所对的圆周角相等),∠CAB=40°,

    ∴∠CDB=40°;

    又∵∠APD=65°,

    ∴∠BPD=115°;

    ∴在△BPD中,

    ∴∠B=180°-∠CDB-∠BPD=25°;

    (2)过点O作OE⊥BD于点E,则OE=3.

    ∵AB是直径,

    ∴AD⊥BD(直径所对的圆周角是直角);

    ∴OE∥AD;

    又∵O是AB的中点,

    ∴OE是△ABD的中位线,

    ∴AD=2OE=6.