Question

曲线y=sinx与y=cosx在交点出的切线能垂直吗,试求两曲线在交点处切线夹角的正切值

Answer 1

设交点为(x0,y0),y=sinx与y=cosx切线斜率分别为cosx0、-sinx0

tanα=|tan(α1-α2)|=|(tanα1-tanα2)/(1+tanα1*tanα2)|

=|(cosx0+sinx0)/(1-cosx0*sinx0)|

因sinx0=cosx0

即：sin^2(x0)=cos^2(x0)

1=sin^2(x0)+cos^2(x0)=2sin^2(x0)

sinx0=±1/√2

从而：tanα=|2sinx0/[1-sin^2(x0)]|

=|±√2/(1-1/2)|=2√2