Question

已知数列{a n }的首项a 1 =2，其前n项和为S n ，当n≥2时，满足a n -2 n =S n-1 ，又b n

Answer 1

（I）由题意知得，a ₁=2，a ₂-2 ²=S ₁=a ₁=2，∴a ₂=6．

n≥2时，a _n-2 ⁿ=S _n-1，a _n+1-2 ⁿ⁺¹=S _n，

两式相减得 a _n+1-a _n-2 ⁿ=a _n

即 a _n+1=2a _n+2 ⁿ（n≥2）

于是

a n+1

2 n+1 =

a n

2 n +

1

2

即 b _n+1-b _n=

1

2 n≥2

又b ₁=

a 1

2 =1， b 2 =

a 2

2 2 =

3

2 ，b ₂-b ₁=

1

2 ，

所以数列{b _n}是首项为1，公差为0.5的等差数列．

（II）由（I）知， b n =1+(n-1)×

1

2 =

n+1

2 ，

a _n=b _n2 ⁿ=（n+1）2 ^n-1，

又n≥2时a _n-2 ⁿ=S _n-1，S _n-1=（n-1）2 ^n-1，

∴S _n=n•2 ⁿ

∴T _n=1×2 ¹+2×2 ²+3×2 ³+…+n×2 ⁿ，…①

2T _n=1×2 ²+2×2 ³+3×2 ⁴+…+n×2 ⁿ⁺¹…②

②-①可得

T _n=2 ⁿ⁺¹-2-n×2 ⁿ=（n-1）2 ⁿ⁺¹+2．