若函数f(x)在[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且 b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a) 这即为牛顿—莱布尼茨公式.牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.下面就是该公式的证明全过程：
编辑本段对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：
b∫a*f(x)dx 现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数：Φ(x)= x∫a*f(x)dx 但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的.为了只表示积分上限的变动,我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：Φ(x)= x∫a*f(t)dt
编辑本段研究这个函数Φ(x）的性质：
1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt,则Φ 与格林公式和高斯公式的联系
’(x)=f(x).证明：让函数Φ(x)获得增量Δx,则对应的函数增量 ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt 显然,x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt 而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得,也可自己画个图,几何意义是非常清楚的.) 当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x) 可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x).2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a）,F（x）是f(x)的原函数.证明：我们已证得Φ’(x)=f(x),故Φ(x）+C=F（x） 但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a],故面积为0）,所以F（a）=C 于是有Φ(x）+F（a）=F（x）,当x=b时,Φ(b)=F（b)-F(a),而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt,所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a) 把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式.
例子：求由∫（下限为2,上限为y）e^tdt+∫（下限为o,上限为x）costdt=0所确定的隐函数y对x的导数dy/dx
求1,∫（下限为-1,上限为1）(x-1)^3dx 2,求由∫（下限为0,上限为5）|1-x|dx 3,求由∫（下限为-2,上限为2）x√x^2dx
e^(y)-e^(2)+sin(x)=0,y=ln(e^(2)-sin(x)),dy/dx=-cos(x)/(e^(2)-sin(x).
1).(x-1)^4/4|(-1,1)=(1-1))^4/4-(-1-1))^4/4=-4;
2).∫（下限为0,上限为5）|1-x|dx=-∫（下限为0,上限为1）x-1dx+
∫（下限为1,上限为5）x-1dx=-(x-1)^2/2|(0,1)+(x-1)^2/2|(1,5)=17/2;
x√x^2是奇函数,所以∫（下限为-2,上限为2）x√x^2dx=0