解题思路：（1）首先由f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，得（2，+∞）上存在区间使f'（x）＞0；然后根据f'（x）=3ax2+2x-1为二次函数，则对a进行分类讨论；特别是a＜0时，有f'（x）=3ax2+2x-1=0在（2，+∞）上有一解或两解两种情况；最后列出相应的不等式或不等式组解之即可．
（2）首先由f（x1）=f（x2）代入f（x）整理可得a（x12+x1x2+x22）+b（x1+x2）-1=0；再化简可得f′（
x
1
+
x
2
2
）=
−
a
4
（x1-x2）2≠0；最后判断出不存在这样的实数a，b，c满足条件．
（1）当b=1时f'（x）=3ax2+2x-1，f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，即f'（x）在（2，+∞）上存在区间使f'（x）＞0．
①a＞0时，f'（x）=3ax2+2x-1是开口向上的抛物线．
显然f'（x）在（2，+∞）上存在区间，使f'（x）＞0即a＞0适合．
②a＜0时，f'（x）=3ax2+2x-1是开口向下的抛物线．
要使f'（x）在（2，+∞）上存在区间有f'（x）＞0，则f'（x）=3ax2+2x-1=0在（2，+∞）上有一解或两解．
即f'（2）＞0或
△＞0
f′(2)≤0
−
1
3a＞2⇒a＞−
1
4或无解，
又a＜0∴a∈(−
1
4，0)
综合得a∈(−
1
4，0)∪(0，+∞)
（2）不存在实数a，b，c满足条件．
事实上，由f（x1）=f（x2）得：a（x13-x23）+b（x12-x22）-（x1-x2）=0
∵x1≠x2∴a（x12+x1x2+x22）+b（x1+x2）-1=0
又f'（x）=3ax2+2bx-1
∴f′(
x1+x2
2)＝3a(
x1+x2
2)2+2b•
x1+x2
2−1
=3a•
x21+
x22+2x1x2
4+1−a(
x21+x1x2+
x22)−1＝−
a
4(x1−x2)2
∵a≠0且x1−x2≠0∴f′(
x1+x2
2)≠0
故不存在实数a，b，c满足条件．
点评：
本题考点： 函数的单调性与导数的关系；导数的几何意义．
考点点评： 本题考查了函数单调性与其导数的关系，及导数的几何意义等基本知识；同时考查了学生分类讨论的思想方法与代数运算能力．