Question

设等差数列{a n }的前n项和为S n ，且a 5 +a 13 =34，S 3 =9．

Answer 1

（1）设等差数列{a _n}的公差为d．由已知得

a 5 + a 13 =34

3 a 2 =9

即

a 1 +8d=17

a 1 +d=3 解得

a 1 =1

d=2 ．

故a _n=2n-1，S _n=n ²

（2）由（1）知 b n =

2n-1

2n-1+t ．要使b ₁，b ₂，b _m成等差数列，必须2b ₂=b ₁+b _m，

即 2×

3

3+t =

1

1+t +

2m-1

2m-1+t ，（8分）．

移项得：

2m-1

2m-1+t =

6

3+t -

1

1+t =

6+6t-3-t

(3+t)(1+t) ，

整理得 m=3+

4

t-1 ，

因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．

当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4．

故存在正整数t，使得b ₁，b ₂，b _m成等差数列．