3.（1）
n^3 -n=n（n+1）（n-1）
这是三个连续的自然数,必然有一个偶数,也必然有一个有因子3,所以n^3 -n是6的倍数
而6n也是6的倍数
所以n^3 +5n也是6的倍数
（2）
n^5 -n=n（n+1）（n-1）（n^2 +1）
n（n+1）（n-1）是6的倍数
而如果n是 5的倍数 或者 除5余4 或者 除5余1
那么n,（n+1）,（n-1）中必然有一个是5的倍数
而如果 n除5余2 或者 除5余3,那么n^2 +1一定是5的倍数
所以综上,无论n为任何整数,30|（n^5 -n）
4.
（a^3 +b^3 +c^3）=（a +b +c）（a^2 +b^2+c^2） -（ab+bc+ac）（a+b+c）+abc*3
因为6|（a +b +c）
从而a,b,c中至少有一个偶数,所以6| （abc*3）
所以6|[（a +b +c）（a^2 +b^2+c^2） -（ab+bc+ac）（a+b+c）+abc*3]
所以6|（a^3 +b^3 +c^3）
5.
因为7^83 +8^163
=7 *（7^82 ）+64*（8^161）
=7 *（7^82 ）+7*（8^161） +57*（8^161）
=7*[（7^82 ）+（8^161）] +57*（8^161）
又因为57|[（7^82 ）+（8^161）]
所以57|{7*[（7^82 ）+（8^161）] +57*（8^161）}
所以57|[7^83 +8^163]