Question

已知函数f（x）= 2 x +alnx-2 （a＞0）．

Answer 1

（I）由题意得，f（x）的定义域为（0，+∞），

∵f ^′（x）= -

2

x 2 +

a

x ，∴f ^′（1）=-2+a，

∵直线y=x+2的斜率为1，∴-2+a=-1，解得a=1，

所以f（x）=

2

x +lnx-2 ，∴f ^′（x）= -

2

x 2 +

1

x =

x-2

x 2 ，

由f′（x）＞0解得x＞2；由f′（x）＜0解得0＜x＜2．

∴f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）

（II）依题得g（x）=

2

x +lnx+x-2-b ，则 g ′ (x)=-

2

x 2 +

1

x +1 =

x 2 +x-2

x 2 ．

由g ^′（x）＞0解得x＞1；由g ^′（x）＜0解得0＜x＜1．

∴函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．

又∵函数g（x）在区间[

1

e ，e]上有两个零点，∴

g(

1

e )≥0

g(e)≥0

g(1)＜0 ，

解得1＜b≤

2

e +e-1 ，∴b的取值范围是（1，

2

e +e-1 ]．