Question

（2013•郑州一模）直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则2a+b的值等于（　　）

Answer 1

解题思路：（1）点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，n∈N^*．可得a_n+1=2S_n+1，当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1即可得到a_n与a_n-1．要使数列{a_n}为等比数列，则需要

a

2

a

1

=[2t+1/t]=3，解出即可．

（2）由（1）可得

a

n

＝

3

n−1

，b_n=log₃a_n+1=

lo

g

3

3

n

=n．利用“裂项求和”即可得出．

（1）∵点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，n∈N^*．∴a_n+1=2S_n+1，可得a_n=2S_n-1+1（n≥2）．

∴a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，化为a_n+1=3a_n，（n≥2）．

要使数列{a_n}为等比数列，则需要

a2

a1=[2t+1/t]=3，解得t=1．

（2）由（1）可得an＝3n−1，b_n=log₃a_n+1=log33n=n．

∴[1/bn•bn+1]=[1

n(n+1)=

1/n−

1

n+1]．

∴T₂₀₁₃=(1−

1

2)+(

1

2−

1

3)+…+(

1

2013−

1

2014)=1−

1

2014=[2013/2014]．

点评：

本题考点： 数列的求和；等比数列的通项公式；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查了利用“当n≥2时，an=Sn-Sn-1”求an、等比数列的定义与通项公式、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．