Question

定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当时x＞0，f（x）＞0．

Answer 1

（1）令x=y=0，∴f（0）=0，

令y=-x，f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），

∴f（x）为奇函数

（2）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数；

设-∞＜x₁＜x₂＜+∞，

∵x＞0，f（x）＞0．

∴f（x₂-x₁）＞0

∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，

∴f（x）在R上为增函数；

（3）若f（k3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0

∴f（k3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2）

又函数f（x）是R上的增函数

∴k3^x＜-3^x+9^x+2

即（3^x）²-（k+1）3^x+2＞0

令t=3^x，则t＞0

故已知条件可化为t²-（k+1）t+2＞0在（0，+∞）上恒成立

即k+1＜t+[2/t]，t+[2/t]≥2

2

解得k＜2

2-1

∴a的取值范围是（-∞，-1+2

2）