证明：（I）先用数学归纳法证明0＜a n＜1，n=1，2，3，
（i）当n=1时，由已知显然结论成立．
（ii）假设当n=k时结论成立，即0＜a k＜1．
因为0＜x＜1时f′（x）=1-cosx＞0，
所以f（x）在（0，1）上是增函数．又f（x）在[0，1]上连续，
从而f（0）＜f（a k）＜f（1），即0＜a k+1＜1-sin1＜1．
故n=k+1时，结论成立．
由（ i）、（ii）可知，0＜a n＜1对一切正整数都成立．
又因为0＜a n＜1时，a n+1-a n=a n-sina n-a n=-sina n＜0，
所以a n+1＜a n，
综上所述0＜a n+1＜a n＜1．
（II）设函数g（x）=sinx-x+
1
6 x 3 ，0＜x＜1．由（I）知，
当0＜x＜1时，sinx＜x，
从而g′（x）=cosx-1+
x 2
2 =-2si n 2
x
2 +
x 2
2 ＞-2(
x
2 ) 2 +
x 2
2 =0．
所以g（x）在（0，1）上是增函数．
又g（x）在[0，1]上连续，且g（0）=0，
所以当0＜x＜1时，g（x）＞0成立．
于是g（a n）＞0，即sina n-a n+
1
6 a n 3＞0．
故a n+1＜
1
6 a n 3．