(a²+b²)(c²+d²)
=a²·c² +b²·d²+a²·d²+b²·c²
=a²·c² +2abcd+b²·d²+a²·d²－2abcd+b²·c²
=(ac+bd)²+(ad－bc)²
≥(ac+bd)²,当且仅当ad=bc时取等号.
同理：
(a²+b²)(c²+d²)
=a²·c² +b²·d²+a²·d²+b²·c²
=a²·d² +2abcd+b²·c²+a²·c²－2abcd+b²·d²
=(ad+bc)²+(ac－bd)²
≥(ad+bc)²,当且仅当ac=bd时取等号.
∴两式相乘,得：
(a²+b²)²(c²+d²)²≥(ac+bd)²(ad+bc)²
即：(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)(ad+bc)
∴√[(a²+b²)(c²+d²)]≥√[(ac+bd)(ad+bc)]
即：xy≥√[(ac+bd)(ad+bc)],当且仅当a=b,c=d时等号成立.