解题思路：（1）f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，等价于f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分离出参数a后化为求函数的最值即可，利用函数的单调性可求得最值；
（2）利用导数可求得函数的极大值、极小值，且极大值大于0，由题意可知只需极小值大于等于0．
（1）f′（x）=3x2-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，
∴f′（x）=3x2-2ax-3≥0即2a≤3x−
3
x在[1，+∞）上恒成立，
而y=3x−
3
x在[1，+∞）上单调递增，
∴3x-[3/x≥3-3=0，
∴a≤0；
（2）g（x）=f（x）-（a2-3）x+1=x3-ax2-a2x+1，
g′（x）=3x2-2ax-a2=（3x+a）（x-a），
当x＜−
a
3]或x＞a时，g′（x）＞0，g（x）递增；当−
a
3＜x＜a时，g′（x）＜0，g（x）递减．
∴x=-[a/3]时g（x）取得极大值，x=a时g（x）取得极小值．
g（-[a/3]）=
5
27a3+1＞0，g（a）=-a3+1，
∵g（x）=f（x）-（a2-3）x+1（a＞0）至多有两个零点，
∴-a3+1≥0，解得0＜a≤1．
∴实数a的取值范围是（0，1]．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 该题考查利用导数研究函数的单调性、极值及函数的零点问题，考查转化思想．