Question

（2014•邳州市二模）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，CD为⊙O的切线，C为切点，且CD⊥PA

Answer 1

解题思路：（1）连接OC，由切线的性质得OC⊥CD，因为CD⊥PA，所以PA∥OC，∠ACO=∠PAC=60°，由半径相等得∠CAE=∠ACO=60°；

（2）过O作OM⊥AB于M，则AB=2AM．易得四边形DMOC是矩形，OM=CD，DM=OC=5．设DC=x，则DA=6-x．在Rt△AMO中有勾股定理即可求得AM的值，进而得AB的值．

（1）连接OC，

∵CD为⊙O的切线，

∴OC⊥CD．

又∵CD⊥PA，

∴PA∥OC，

∴∠ACO=∠PAC=60°．

又∵OA=OC，

∴∠CAE=∠ACO=60°；

（2）过O作OM⊥AB于M，

则AB=2AM．

∵∠CDM=∠DCO=90°，

∴四边形DMOC是矩形，

∴OM=CD，DM=OC=5．

设DC=x，则DA=6-x．

∴AM=5-（6-x）=x-1．

在Rt△AMO中，（x-1）²+x²=5²，

解得x₁=4，x₂=-3（舍去）．

∴AM=4-1=3，

AB=2AM=6．

点评：

本题考点： 切线的性质．

考点点评： 本题主要考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．