Question

已知函数f(x)=2^x+arctanx,数列{an}满足a1=1/4023,f(an+1)=f(an/(1-2an))

Answer 1

f'(x)=2^x*ln2+1/(1+x^2)

显然对于任意x∈ R它都是严格大于0的

所以f(x)严格单调递增

所以a(n+1)=a(n)/(1-a(n)),对任意n∈N*

变形得a(n+1)-2*a(n)*a(n+1)-a(n)=0,1/a(n)-1/a(n+1)-2=0,1/a(n+1)=1/a(n)-2

所以1/a(n)=1/a(1)-2*（n-1）

将a(1)=1/4023和n=2012带入得a(2012)=1

所以f(a(2012))=f(1)=2+π/4

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