Question

（2014•青浦区一模）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥

Answer 1

解题思路：（1）首先根据已知得出∠ACD=∠CBD，以及∠ADC=∠BCD=90°，进而求出△ACD∽△DBC，即可得出答案；

（2）首先证明△ABG∽△DBA，进而得出[AG/AD]=[AB/BD]，再利用△ABG∽△DBA，得出[BG/AB]=[AB/BD]，则AB²=BG•BD，进而得出答案．

证明：（1）∵AD∥BC，∠BCD=90°，

∴∠ADC=∠BCD=90°，

又∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB=∠CBD+∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CBD，

∴△ACD∽△DBC，

∴[AD/CD]=[CD/BC]，

即CD²=BC×AD；

（2）方法一：

∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF，

∵∠BAF=∠DBF，∴∠ADB=∠BAF，

∵∠ABG=∠DBA，

∴△ABG∽△DBA，

∴[AG/AD]=[AB/BD]，

∴

AG2

AD2=

AB2

BD2，

又∵△ABG∽△DBA，

∴[BG/AB]=[AB/BD]，

∴AB²=BG•BD，

∴

AG2

AD2=

AB2

BD2=[BG•BD

BD2=

BG/BD]，

方法二：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF，

∵∠BAF=∠DBF，∴∠ADB=∠BAF，

∵∠ABG=∠DBA，∴△ABG∽△DBA，

∴

S△ABG

S△DBA=（[AG/AD]）²=

AG2

AD2，

而

S△ABG

S△DBA=[BG/BD]，∴

AG2

AD2=[BG/BD]．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质．

考点点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△ABG∽△DBA是解题关键．