Question

已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则2Sn+1

Answer 1

解题思路：由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d，代入等差数列的通项公式、前n项和公式求出a_n、S_n，代入

2

S

n

+16

a

n

+3

利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．

因为a₁，a₃，a₁₃成等比数列，所以a32=a1a13，

又a₁=1，所以（1+2d）²=1×（1+12d），

解得d=2或d=0（舍去），

所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1，S_n=

n(1+2n-1)

2=n²，

则

2Sn+16

an+3=

2n2+16

2n+2=

n2+8

n+1=

(n+1)2-2(n+1)+9

n+1

=(n+1)+

9

n+1-2≥2

(n+1)×

9

n+1-2=4，

当且仅当n+1=

9

n+1时取等号，此时n=2，且

2Sn+16

an+3取到最小值4，

故答案为：4．

点评：

本题考点： 等差数列的性质

考点点评： 本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值．