Question

在60°二面角M-a-N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离．

Answer 1

解题思路：设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ，根据二面角平面角的定义可知∠AQB是二面角M-a-N的平面角，连PQ，则PQ是P到a的距离，PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R，在△PAB中由余弦定理得 求出AB，最后根据正弦定理可求出PQ，从而求出点P到直线a的距离．

设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ．

PA⊥平面M，a⊂平面M，则PA⊥a，同理，有PB⊥a，∵PA∩PB=P，∴a⊥面PAQB于Q

又 AQ、BQ 平面PAQB∴AQ⊥a，BQ⊥a．∴∠AQB是二面角M-a-N的平面角．∴∠AQB=60°

连PQ，则PQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有∠PAQ=∠PBQ=90°

∴P、A、Q、B四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R

在△PAB中，∵PA=1，PB=2，∠BPA=180°-60°=120°，

由余弦定理得 AB²=1+4-2×1×2cos120°=7

由正弦定理：PQ=

2

21

3

∴点P到直线a的距离为

2

21

3

点评：

本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评： 本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角，属于基础题．