Question

椭圆X225+Y29=1上不同三点A(x1，y1)，B(4，95)，C(x2，y2)与焦点F（4，0）的距离成等差数列．

Answer 1

解题思路：（1）由椭圆方程知a=5，b=4，c=3．由圆锥曲线的统一定义知：

|AF|

a

2

c

−

x

1

=[c/a]，|AF|=a-ex₁=5-[4/5]x₁．同理|CF|=5-[4/5]x₂．由此能够证明即x₁+x₂=8．

（2）因为线段AC的中点为（4，

y

1

+

y

2

2

），所以它的垂直平分线方程为y-

y

1

+

y

2

2

=

x

1

−

x

2

y

1

−

y

2

（x-4），由点T在x轴上，设其坐标为（x₀，0），代入上式x₀-4=

y

2

1

−

y

2

2

2(

x

1

−

x

2

)

，再由点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），都在椭圆上，知y₂²=[9/25]（25-x₂²），由此能求出直线的斜率．

（1）证明：由椭圆方程知a=5，b=3，c=4．

由圆锥曲线的统一定义知：

|AF|

a2

c-x1=[c/a]，

∴|AF|=a-ex₁=5-[4/5]x₁．　　同理|CF|=5-[4/5]x₂．

∵|AF|+|CF|=2|BF|，且|BF|=[9/5]，

∴（5-[4/5]x₁）+（5-[4/5]x₂）=[18/5]，即x₁+x₂=8．

（2） 因为线段AC的中点为（4，

y1+y2

2），所以它的垂直平分线方程为

y-

y1+y2

2=-

x1-x2

y1-y2（x-4）

又∵点T在x轴上，设其坐标为（x₀，0），代入上式x₀-4=

y21-

y22

2(x1-x2)，

又∵点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），都在椭圆上，

∴y₂²=[9/25]（25-x₂²）

∴y₁²-y₂²=-[9/25]（x₁+x₂）（x₁-x₂）．

将此式代入①，并利用x₁+x₂=8的结论得x₀-4=-[36/25]，K_BT=

9

5-0

4-x0=[5/4]．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．