Question

证明对任意一个正整数,其正约数中末位为1或9的数的个数不小于末位为3或7的数的个数.

Answer 1

设正整数约数中末尾为3的有m个,7的有n个

设其为x1,x2,...,xm

y1,y2,...,yn(按大小排列）

m=0时,

n=0,得证

n=1时,1是N的正约数

n>=2时 1,y1*y2,yi*y3,..,y1*yn,互不相同,共n个,

m=0时,同理可证.

m,n>=1时,y1*y2,yi*y3,..,y1*yn共n-1个

x1*x2,...,x1*xm 共m-1个

x1*y1末尾为1

又有1为N的正约数

至少m-1+n-1+1+1=m+n个

综上,得证