（1）因为BC平方+AC平方=AB平方,所以,△ABC是直角三角形,角C=90度.
△ABC的面积=3*4*1/2=6.
△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等,则△PQC的面积为△ABC面积的一半.
因为PQ//AB,所以,△PQC相似△ABC,
所以,（CP/CA）^2=△PQC的面积/△ABC的面积=1/2,
CP=2根号2.
（2）由（1）知,△PQC相似△ABC,所以,CP/AC=CQ/BC=PQ/AB,设其比值为k,
则CP=kAC=4k,CQ=kBC=4k,PQ=kAB.
AP=AC-CP=（1-k）AC=4（1-k）,BQ=BC-CQ=（1-k）BC=3（1-k）.
由 CP+CQ+PQ=AP+BQ+PQ+AB,得 CP+CQ=AP+BQ+AB.
4k+3k=4-4k+3-3k+5,k=5/7,
CP=4*5/7=20/7.
（3）存在.
一：过P作PM垂直AB于M,当PQ=PM时（过Q也要同样做,此时PQ的长相同）,作CH垂直AB于H,则CH=BC*AC/AB=12/5.由相似知,（CH-PM）/CH=PQ/AB
AB*（CH-PQ）=CH*PQ,5（12/5-PQ）=12/5PQ,
PQ=20/9；
二：取PQ的中点N,作NM垂直AB于M,则PM=QM,当MN=PQ/2时,三角形PQM为等腰直角三角形.由相似知,（CH-MN）/CH=PQ/AB,AB*（CH-PQ/2）=CH*PQ,
5（12/5-PQ/2）=12/5*PQ,
PQ=120/49.