Question

（2013•永修县模拟）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD、BC于E、F，如图①

Answer 1

解题思路：（1）由四边形ABCD是平行四边形，易证得△AOE≌△COF，则可得AE=CF；

（2）由折叠的性质，易证得△EQA₁≌△FGC，则可得EQ=FG．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，OA=OC，

在△AOE和△COF中，

∠EAO＝∠FCO

∠AEO＝∠CFO

OA＝OC，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴AE=CF，

（2）由折叠的性质可得：AE=A₁E，

∵AE=CF，

∴A₁E=CF，

又∵∠A₁=∠A=∠C，∠B₁=∠B=∠D，

∴∠EQA₁=∠DQP=180°-∠D-∠DPQ=180°-∠B₁-∠DPQ=∠B₁GP=∠FGC，

在△EQA₁和△FGC中，

∠A1＝∠C

∠EQA1＝∠FGC

A1E＝CF，

∴△EQA₁≌△FGC（AAS），

∴EQ=FG．

点评：

本题考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．

考点点评： 此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．