Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，P是边AB上任意一点（不与点A、点B重合），过P点作PD⊥AC于点D，P

Answer 1

解题思路：（1）首先设PE=x，易得四边形CDPE是矩形，又由△ADP∽△ACB，易求得PD的长，继而可得S_{四边形CDPE}=PE•PD=x（4-x）=-（x-2）²+4，则可求得答案；

（2）分别从当0≤t＜2时，当t=2时与当2＜t≤4时去分析求解即可求得答案．

（1）设PE=x，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，PD⊥AC，PE⊥BC，

∴四边形CDPE是矩形，

∴CD=PE=x，PD∥BC，

∴△ADP∽△ACB，

∴[AD/AC＝

PD

BC]，

∵AC=BC=4，

∴AD=AB-CD=4-x，

∴PD=4-x，

∴S_{四边形CDPE}=PE•PD=x（4-x）=-（x-2）²+4，

∴当pe=2时，四边形CDPE面积的最大，最大值为4；

（2）如图1，当0≤t<2时，

根据题意得：CC′=t，AD=AC-CC′-C′D=4-2-t=2-t，

∵PE∥AC，

∴△AFD∽△ABC，

∴AD：AC=DF：BC，

∴DF=2-t，

∴PF=PD-DF=t，

∴S_△PFG=[1/2]t²，

∴S_重合部分=S_{四边形C′DPE}-S_△PFG=4-[1/2]t²；

如图2，当t=2时，点E在AB上时，AC′=EC′=2，

S_重合部分=S_△AC′E=2；

如图3，当2

∴C′F=AC′=4-t，

∴S_重合部分=S_△AC′E=[1/2]（4-t）²．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值．

考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值以及矩形的性质等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．