我看不懂2楼的答案,下面是我的解答(看图片）.并附上latex代码.
设$a_1=frac{x_2}{x_1},a_2=frac{x_3}{x_2},cdots,a_2=frac{x_1}{x_n}$,则我们有$a_1a_2cdots a_n=1$,我们要证明的是:$frac{1}{n+a_1}+frac{1}{n+a_2}+cdots+frac{1}{n+a_n}le frac{n}{n+1}$(1)
而由Cauchy不等式得到:
[(n+a_1)(frac{1}{n-1+a_1}+frac{1}{n^2}) = (n-1+a_1+1)(frac{1}{n-1+a_1}+frac{1}{n^2}) ge left(frac{n+1}{n}right)^2]
所以我们有：
[frac{1}{n+a_1} le left(frac{n}{n+1}right)^2 (frac{1}{n-1+a_1}+frac{1}{n^2}) ]
同理我们有,
[frac{1}{n+a_2} le left(frac{n}{n+1}right)^2 (frac{1}{n-1+a_2}+frac{1}{n^2}) ]
$cdots$
[frac{1}{n+a_n} le left(frac{n}{n+1}right)^2 (frac{1}{n-1+a_n}+frac{1}{n^2}) ]
因此为证明不等式(1)成立我们只需证明:$frac{1}{n-1+a_1}+frac{1}{n-1+a_2}+cdots+frac{1}{n-1+a_n}le 1$(2)
而(2)等价于$frac{a_1}{n-1+a_1}+frac{a_2}{n-1+a_2}+cdots+frac{a_n}{n-1+a_n}ge 1$(3)
而(3)式可由局部不等式
$frac{a_1}{n-1+a_1} ge frac{a_1^k}{a_1^k+a_2^k+cdots+a_n^k}$(4)
其中$k=frac{n-1}{n}$,(4)式的证明是由于$(4) iff a_1(a_2^k+cdots+a_n^k) ge (n-1)a_1^k$而最后一式有平均值不等式可得到.
同理
$frac{a_1}{n-1+a_1} ge frac{a_2^k}{a_1^k+a_2^k+cdots+a_n^k}$
$cdots$
$frac{a_n}{n-1+a_1} ge frac{a_n^k}{a_1^k+a_2^k+cdots+a_n^k}$
把以上各式相加便得到了(3)从而证明了原命题.