Question

将边长为2a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容

Answer 1

解题思路：设小正方形的边长为x，则盒底的边长为2a-2x，由于2a-2x＞0，则x∈（0，a），且方盒是以边长为2a-2x的正方形作底面，高为x的正方体，其体积为V=x（2a-2x）²，（x∈（0，a）），由此利用导数性质能求出结果．

设小正方形的边长为x，则盒底的边长为2a-2x，

由于2a-2x＞0，则x∈（0，a），

且方盒是以边长为2a-2x的正方形作底面，高为x的正方体，

其体积为V=x（2a-2x）²，（x∈（0，a））

V'=（2a-2x）（2a-6x），令V'=0，则x₁=a，x₂=[a/3]，

由x₁=a∉（0，a），且对于x∈（0，[a/3]），V′＞0，x∈（[a/3]，a），V′＜0，

∴函数V在点x=[a/3]处取得极大值，由于问题的最大值存在，

∴V（[a/3]）=

16a3

27即为容积的最大值，此时小正方形的边长为[a/3]．

点评：

本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查方盒了大容积的求法，是中档题，解题时要注意空间能力和导数性质的合理运用．