已知各项均为正数的数列{a n }前n项和为S n - 知识问答

已知各项均为正数的数列{a n }前n项和为S n ，首项为a 1 ，且 1 2 ，a n ，S n 成等差数列．

1个回答

（本小题满分12分）
（Ⅰ）由题意知 2 a n = S n +
1
2 ， a n ＞0 ，…（1分）
当n=1时，2a₁=a₁+
1
2 ，解得a₁=
1
2 ，
当n≥2时， S n =2 a n -
1
2 ， S n-1 =2 a n-1 -
1
2 ，
两式相减得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1…（3分）
整理得：
a n
a n-1 =2 …（4分）
∴数列{a_n}是以
1
2 为首项，2为公比的等比数列．
∴ a n = a 1 • 2 n-1 =
1
2 × 2 n-1 = 2 n-2 ．…（5分）
（Ⅱ）
a 2n = 2 - b n = 2 2n-4
∴b_n=4-2n，…（6分）
∴ C n =
b n
a n =
4-2n
2 n-2 =
16-8n
2 n T n =
8
2 +
0
2 2 +
-8
2 3 +…
24-8n
2 n-1 +
16-8n
2 n …①
1
2 T n =
8
2 2 +
0
2 3 +…+
24-8n
2 n +
16-8n
2 n+1 …②
①-②得
1
2 T n =4-8(
1
2 2 +
1
2 3 +…+
1
2 n )-
16-8n
2 n+1 …（9分）
=4-8•
1
2 2 (1-
1
2 n-1 )
1-
1
2 -
16-8n
2 n+1
=4-4(1-
1
2 n-1 )-
16-8n
2 n+1 =
4n
2 n ．…（11分）
∴ T n =
8n
2 n ．…（12分）

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