Question

（2008•黄冈模拟）已知数列{an}满足：an+1＝an+(12)n+1(n∈N*)，且a1＝1；设bn＝12an−3

Answer 1

解题思路：（I）利用已知和“累加求和”、等比数列的前n项和公式即可得出；

（II）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

（Ⅰ）∵an+1＝an+(

1

2)n+1(n∈N*)，且a1＝1，

∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）

=1+(

1

2)2+(

1

2)3+…+(

1

n)n＝1+

1

4[1−(

1

2)n−1]

1−

1

2＝

3

2−(

1

2)n．

又∵当n=1时，上式也成立，∴an＝

3

2−(

1

2)n(n∈N*)．

（Ⅱ）∵bn＝

1

2an−

3

4＝

1

2[

3

2−(

1

2)n]−

3

4＝−

1

2n+1(n∈N*)，

又∵cn＝2n−1(n∈N*)，

∴S_n=b₁•c₁+b₂•c₂+…+b_n•c_n

∴Sn＝−(

1

2)2−3×(

1

2)3−5×(

1

2)4−…−(2n−1)×(

1

2)n+1①

∴

1

2Sn＝−(

1

2)3−3×(

1

2)4−…−(2n−3)×(

1

2)n+1−(2n−1)×(

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的求和．

考点点评： 熟练掌握“累加求和”、“错位相减法”和等比数列的前n项和公式是解题的关键．