解题思路：（I）由数字1，2，3，4组成的五位数
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a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
共有45个，数满足条件可分为两类，一类只由一个数字组成，共有4个，一类是由两个数字组成，共有C42•C52•2=120个，根据等可能事件的概率公式解之即可；
（II）由题意ξ可能的取值为2、3、4、5，然后分别求出相应的概率，列出ξ的分布列，最后利用离散型随机变量的期望公式解之即可．
（I）由数字1，2，3，4组成的五位数
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a1a2a3a4a5共有45个
数满足条件：“对任意的正整数j（1≤j≤5），至少存在另一个正整数k（1≤k≤5），使得aj=ak”的五位数
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a1a2a3a4a5可分为两类：
（i）只由一个数字组成，如11111，22222，等共有4个；
（ii）由两个数字组成，如11122，11133等，共有C42•C52•2=120个
由（i）、（ii）知共有124个------（6分）
∴所求概率p＝
124
45＝
31
256．------（7分）
（II）由题意ξ可能的取值为2、3、4、5------（8分）
P(ξ＝5)＝
4
45＝
1
256
P(ξ＝4)＝
C54•C41•C31
45＝
15
256
P(ξ＝3)＝
C53•C41•32
45＝
90
256
P（ξ=2）=1-[P（ξ=3）+P（ξ=4）+P（ξ=5）]=[150/256]------（12分）ξ的分布列为：
ξ 2 3 4 5
P [150/256] [90/256] [15/256] [1/256]∴Eξ=2•P（ξ=2）+3•P（ξ=3）+4•P（ξ=4）+5•P（ξ=5）=[635/256]．------（14分）
点评：
本题考点： 离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．
考点点评： 本题主要考查了离散型随机变量的数学期望和分布列，以及等可能事件的概率，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．