椭圆参数 a=2 b=√3 c=1 e=1/2 准线方程x=±4
设A(x1,y1) B(x2,y2)
由椭圆第二定义知
|F2A|=e*(4-x1)
|F2B|=e*(4-x1)
于是有|F2A|*|F2B|=1/4*x1x2-(x1+x2)+4
当直线AB的斜率不存在时,AB垂直于x轴,于是有x1=x2=-1,此时|F2A|*|F2B|=25/4
当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1).
与椭圆方程联立消去y可得一个关于x的一元二次方程.
(4k^2+3)x^2+(8k^2)x+4k^2-12=0
由根与系数的关系得
x1+x2=-(8k^2)/(4k^2+3)
x1x2=(4k^2-12)/(4k^2+3)
于是有|F2A|*|F2B|=25/4-39/(16k^2+12)＜25/4
将AB斜率存在与否的两种情况进行比较可知.
|F2A|*|F2B|的最大值是25/4