由函数y=f（x）确定数列{an}，an=f（n） - 知识问答

由函数y=f（x）确定数列{an}，an=f（n），函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）能确定数列{bn}，bn=f

1个回答

解题思路：（1）先求出函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x），根据b_n=f^-1（n）可求出p，即可求出a_n；
（2）先求出d_n，然后求出s_n，根据H_n为数列{S_n}的调和平均数，可求出H_n的关系式，从而求出
lim
n→∞
＝
H
n
n
；
（3）先根据正数数列{c_n}的前n项之和
T
n
＝
1
2
(
c
n
+
n
c
n
)
求出c₁，当n≥2时，c_n=T_n-T_n-1，所以T_n²-T_n-1²=n，然后利用叠加法求出T_n表达式即可．
（1）由题意的：f^-1（x）=[1−x/x−p]=f（x）=[px+1/x+1]，所以p=-1，（2分）
所以a_n=[−n+1/n+1]（3分）
（2）a_n=[−n+1/n+1]，dn＝
2
an+1−1＝n，（4分）
s_n为数列{d_n}的前n项和，sn＝
n(n+1)
2，（5分）
又H_n为数列{S_n}的调和平均数，
所以Hn＝
n
1
s1+
1
s2+…
1
sn＝
n
2
1×2+
2
3×2+…
2
n(n−1)＝
(n+1)
2（8分）
lim
n→o
Hn
n＝
lim
n→o
n+1
2n＝
1
2（10分）
（3）因为正数数列{c_n}的前n项之和Tn＝
1
2(cn+
n
cn)
所以c1＝
1
2(c1+
n
c1)解之得：c₁=1，T₁=1（11分）
当n≥2时，c_n=T_n-T_n-1，所以2Tn＝Tn−Tn1+
n
Tn−Tn1
Tn−Tn−1＝
n
点评：
本题考点：数列与函数的综合；数列的求和．
考点点评：本题主要考查了反函数以及数列与函数的综合问题，同时考查了数列的求和以及累加法，属于难题．

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