Question

若三角形ABC为正三角形,且边长为1,求证：PA+PB+PC小于2

Answer 1

过P点作BC边的平行线EF,分别交AB、AC于E、F ．

∵ΔABC为等边三角形,

∴∠AFE＝∠ABC＝60°,

又∵∠APE＞∠AFE,∴∠APE＞60°．

在ΔAEP中,∵∠APE＞∠AEP,∴AE＞AP．

∵ΔAEF为等边三角形,∴AE＝EF＝AF．

∵AE＞AP,BE＋EP＞BP,PF＋FC＞PC,

∴AE＋(EB＋EP)＋(PF＋FC)＞AP＋PB＋PC,

即AB＋EF＋FC＞PA＋PB＋PC,

∴PA＋PB＋PC＜AB＋AC＝2AB=2